---
title: "Elektriciteit"
description: "Hoe Professor Oops elektriciteit uitrekent in echte volts, ohms en ampères op elk spikkeltje van het papier, zodat de stroom zelf zijn weg vindt door wat je tekent."
source_name: "Game Tailors"
source_url: "https://professoroops.com/binnenin/elektriciteit/"
site_home: "https://professoroops.com/"
source_description: "De teken-app waarin het papier echt is. Geen reclame. Geen accounts. Geen persoonsgegevens: alleen anonieme tellingen, en die kun je uitzetten."
locale: "nl"
legal:
  - "Game Tailors · Schieweg 15Y-40, 2627 AN Delft (NL)"
  - "KvK 92437702 · VAT NL866044474B01"
  - "info@gametailors.com · +31 6 4227 5919"
copyright: "© 2026 Game Tailors"
published_at: "2026-11-11T11:19:19.244Z"
modified_at: "2026-11-11T11:19:19.244Z"
---

# Elektriciteit

## De stroom vindt zelf zijn weg door alles wat je tekent

Klem een speelgoedbatterij aan een tekening en het spel rekent de elektriciteit uit op elk piepklein plekje van het papier, in echte volts, ohms en ampères. Niets vertelt het hoe de draden verbonden zijn. Een koperen lijn laat een lampje branden, een potloodlijn geleidt een stroompje dat te klein is om te zien, zout water geleidt genoeg om bij één klem zuur te worden, en te veel stroom laat een lampje met een plop doorbranden.

[Voor technici](<#hood-engineers>)

![Geschilderde illustratie van de schilder die over zijn baard strijkt terwijl hij naar een gloeilamp in zijn hand kijkt, met een vergrootglas en een waskrijtje op tafel.](<https://professoroops.com/_assets/entity_fPSmZk7fTNdZ8g5RRilP.webp>)

## Teken een kortere weg om een lampje heen en het gaat uit, want het spel slaat helemaal geen bedrading op

Een kind pakt de batterij, klemt de twee draden ervan op het vel en tekent. De batterij en de lampjes zijn voorwerpen die je kunt oppakken. Hoe ze verbonden zijn, wordt nergens opgeslagen. Elk plekje van het papier weet alleen wat erop ligt: koper, potloodstift, zout water, een klodder ketchup, of niets.

Daaruit rekent het spel voor elk plekje een spanning uit, zodat de stroom zelf zijn weg vindt. Waar een pad zich splitst, splitst de stroom zich. Teken een kortere weg om een lampje heen en bijna alle stroom neemt de kortere weg, en het lampje gaat uit. Prik een gat door de draad en de stroom zakt naar precies nul; een automatische test controleert het.

De stroom vindt zelf zijn weg door alles wat je tekent

Voor technici

### De stroom vindt zelf zijn weg door alles wat je tekent

Een discrete `∇·(σ∇V) = 0` over het geleidende deel van een rooster van maximaal 512 × 384 cellen \(elk ongeveer 0,6 mm\), met σ in siemens per vierkant, gelezen uit wat er op elke cel ligt, waarbij koper en potlood bijna acht ordes van grootte uit elkaar liggen. Het wordt opgelost met symmetrische, overgerelaxeerde Gauss-Seidel binnen een werkbudget per tik, en daarna met de wet van Ohm in serie gezet met de eigen weerstand van de batterij: `I = V/(R + r)`. Eén lampje op de 1,5 V-batterij geeft 0,273 A, tegenover 0,272 A uit een exacte oplossing van hetzelfde rooster.

[Onder de motorkap](<#hood-every-spot>)

Teken een kortere weg om een lampje heen en het gaat uit, want het spel slaat helemaal geen bedrading op

Onder de motorkap

### Teken een kortere weg om een lampje heen en het gaat uit, want het spel slaat helemaal geen bedrading op

De stroomkring houdt geen eigen kaart bij. Hij leest lagen van de pagina die andere gereedschappen delen: hoeveel metaal er op een cel ligt en van welke soort, potloodgrafiet, hoe nat de cel is, wat er in het water is opgelost, zoute smurrie, en gaten. Lampjes en stalen punaisepunten worden daaroverheen gestempeld.

Vanaf de plusklem stroomt hij naar buiten over elke cel die maar enigszins geleidt. Als die vloed de minklem bereikt, is de kring gesloten. Buren worden verbonden als twee halve cellen in serie, het harmonisch gemiddelde van hun geleidbaarheden, zodat koper naast potlood alleen doorlaat wat het potlood toelaat:

*g* = 2 σ<sub>1</sub> σ<sub>2</sub> / \(σ<sub>1</sub> \+ σ<sub>2</sub>\)

De klemmen houden vaste spanningen vast, en elke vrije cel wordt steeds opnieuw naar het met de geleiding gewogen gemiddelde van zijn vier buren getrokken, een beetje erlangs om er sneller te komen. Zodra er niets meer beweegt, is dat de stroomwet van Kirchhoff in elke cel:

*V*<sub>k</sub> ← *V*<sub>k</sub> \+ ω · \( Σ *g*·*V*<sub>nb</sub> / Σ *g* − *V*<sub>k</sub> \)

Technici kennen dit als successieve overrelaxatie <sup>[Young 1954](<https://professoroops.com/binnenin/onderzoek-simulatie/#young-1954>)</sup>, en stroom die zich door een vlakke plaat verspreidt, werd al in 1845 bestudeerd <sup>[Kirchhoff 1845](<https://professoroops.com/binnenin/onderzoek-simulatie/#kirchhoff-1845>)</sup>. Dat zijn de klassieke namen voor wat het spel doet; de artikelen vonden we later. Het draait in gewone JavaScript in de Web Worker van de simulatie, zonder WebAssembly-tweeling.

Een punaise die door twee draden wordt gedrukt die elkaar niet raken, verbindt ze, omdat het spel de stalen punt van een punaise telt als metaal dat geleidt. De punaise heeft geen eigen stroomkringcode, en een test legt dat vast. Twee draden die elkaar kruisen, zijn ook verbonden. Getekende draad heeft geen isolatie.

Teken in de demo hieronder. Die draait de eigen regel en constanten van het spel op een kleinere pagina.

![Een koperen lijn getekend van de plusklem van de batterij door een lampje naar de minklem, met het lampje aan en een warme gloed op het papier.](<https://professoroops.com/_assets/entity_kWchmeRu9tOYsglEZUX8.webp>)

**In het spel:** een koperen lijn getekend van klem naar klem door een lampje op de 1,5 V-batterij. Het lampje krijgt 0,35 W, ongeveer de helft van zijn nominale 0,75 W, en het spel tekent het ongeveer half zo fel.

Probeer het: teken een stroomkring De eigen regel van het spelDe rode \+ en de donkere − zijn de klemmen van de batterij. Kies een begintekening, teken dan met koper, potlood of zout water, zet lampjes neer \(tot vier, zoals in het spel\) of gum dingen uit. Teken op de pagina, of gebruik de knoppen: **Trek een draad van klem naar klem**, **Zet een lampje neer**, **Trek een draad om een lampje** en **Gum een gat in de draad**. **Waar je op let:** twee lampjes achter elkaar worden zwak, naast elkaar blijven ze fel, een draad om een lampje heen doet het uit, en 9 V laat een enkel lampje binnen een paar seconden doorbranden. Kijk in zout water naar de uiteinden van de draden: zuur \(roze\) verzamelt zich waar de stroom het water in gaat en base \(blauwviolet\) waar hij eruit komt. Zet *Spanning* aan om de volts op elk plekje te zien, rood bij \+ en blauw bij −.

![Een pagina met twee batterijklemmen; teken koper, potlood of zout water en zet lampjes neer, en de stroom wordt op elke cel uitgerekend](<https://professoroops.com/_assets/entity_wMHxzmrGUICb4vkneN82.png>)

- \+
- −
- 1,5 V-batterij
- 9 V-batterij

Begin metEén lampjeTwee achter elkaarNaast elkaarDraad om een lampjePotloodlijnZout waterTeken metKoperPotloodZout waterLampjeUitgummenBatterij1,5 V-batterij9 V-blokje

stroom—

pagina—

lampje 1 \(1 = vol vermogen\)—

lampje 2—

lampje 3—

lampje 4—

oplosser—

rondes—

zuur gemaakt—

base gemaakt—

## Eén regel bepaalt hoe goed alles geleidt, van koper tot potlood

Koper, een potloodlijn, zout water en ketchup gaan allemaal door dezelfde korte regel: hoeveel er van elk ding op dit plekje ligt, maal hoe goed dat ding geleidt. Koper over potlood in een plas telt op. In het spel geleidt gewoon water niets, omdat er niets in is opgelost; echt kraanwater geleidt een beetje. Een waskrijtlijn geleidt helemaal niets, en ook dat controleert een test.

Het bereik is enorm. Koper geleidt vijftig miljoen keer beter dan de zwaarste potloodlijn, en beide staan op dezelfde pagina in dezelfde berekening. Een test legt draad, potlood, zout water, ketchup en staal op één pagina en controleert dat elke cel in de kring precies krijgt wat de regel zegt.

Een getekende koperen lijn heeft de weerstand van een echte koperdraad van 0,5 mm, lengte voor lengte: 0,083 Ω per meter in het spel, tegenover 0,086 Ω per meter uit de soortelijke weerstand van koper [\(HyperPhysics geeft 84,2 Ω per km voor draad van 24 gauge\)](<https://hyperphysics.gsu.edu/hbase/Tables/wirega.html>).

Het potlood is ook eerlijk. Een potloodlijn geleidt echt, en het spel stuurt er echt stroom doorheen: met de echte gereedschappen 27 µA bij 1,5 V over het grootste deel van een pagina, 160 µA bij 9 V. Dat is veel te weinig voor een lampje, net als in het echt, en niets op de pagina laat het zien. Dus het spel doet nooit alsof een potloodtekening een lampje kan laten branden.

Ketchup, mosterd en tomatensaus geleiden ook. In het uitgebrachte spel is hoe goed elk ervan geleidt een getal dat met de hand is ingevoerd. In de volgende update volgende update komt het uit hun echte zoutgehalte maal hun water, zodat ketchup \(2,5% zout\) en tomatensaus \(1%\) geleiden in de verhouding van hun zout maal hun water. Een test legt die verhouding vast.

[Onder de motorkap](<#hood-one-rule>)

Eén regel bepaalt hoe goed alles geleidt, van koper tot potlood

Onder de motorkap

### Eén regel bepaalt hoe goed alles geleidt, van koper tot potlood

De geleidbaarheid van elke cel, in siemens per vierkant, is één som: hoeveel van elk geleidend ding er ligt, maal hoe goed dat ding geleidt. Metaal telt naar zijn soort, potlood naar hoeveel grafiet er ligt, en water alleen naar wat erin is opgelost, elke opgeloste stof met een eigen gewicht, en alleen voor zover de cel vochtig is. Zoute smurrie draagt bij naar zijn hoogte. Een gat geleidt niets. Droge zoutkristallen tellen niet; alleen opgelost zout telt.

Het koper is geijkt op een echte draad. Een echte koperdraad van 0,5 mm is volgens `R = ρ/A` met ρ = 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m 0,086 Ω/m. Een lijn getekend met het draadgereedschap komt uit op 0,083 Ω/m, gemeten door de 1,5 V-batterij kort te sluiten met een bekend stuk ervan. De dunne staaldraad komt uit op 14 tot 15 Ω/m: het juiste bereik voor fijn staal, niet geijkt zoals het koper.

Potlood: elke streek voegt grafiet toe, tot volledige bedekking, dus harder drukken of over een lijn heen gaan geleidt beter.

Hoe goed elk ding geleidt, op één pagina \(siemens per vierkant, logaritmische schaal\)

Koperdraad geleidt 10.000 siemens per vierkant, de punt van een punaise 300, staaldraad 100, staalwol 1,5, een lampje 0,42, zout water 0,02, ketchup 0,016 en de zwaarste potloodlijn 0,0002.

Gegevenstabel

Hoe goed elk ding geleidt, op één pagina \(siemens per vierkant, logaritmische schaal\)

|  | geleiding |
| --- | --- |
| koper | 10 000 |
| punaise | 300 |
| staal | 100 |
| staalwol | 1,5 |
| lampje | 0,42 |
| zout water | 0,02 |
| ketchup | 0,016 |
| potlood | 0,0002 |

Bron: De waarden van het spel bij volledige bedekking: koperdraad, de stalen punt van een punaise, dunne staaldraad, staalwol, een lampje in zijn fitting. Zout water is volledig gezouten en doorweekt; ketchup is de ingevoerde waarde van het uitgebrachte spel \(0,034 op grond van zijn echte zout in de volgende update\); potlood bij grafiet 1, de zwaarste lijn. Gewoon water en waskrijt zijn 0, dus die hebben geen balk. Koper tegenover potlood: 5 × 10⁷.

Probeer het: waarom een potlood geen lampje kan laten branden IllustratieEen koperen stroomkring met één lampje, en een gat in de draad overbrugd door een strook van 6 cellen breed \(3,6 mm op ware grootte\). Hij gebruikt de geleidingen, de batterij, het vermogen van het lampje en de doorbrandregel van het spel, maar telt de kring op als weerstanden achter elkaar \(de rest van de pagina met 5,3 Ω, de strook, de batterij\) in plaats van elke cel op te lossen, en zijn staalwol is een massieve strook waar die van het spel een losse kluwen is. Kies waar de strook van is gemaakt en hoe lang hij is. **Waar je op let:** koper en staaldraad veranderen bijna niets. Potlood geleidt ruim onder een milliampère, en het lampje blijft donker. Staalwol laat het lampje op 1,5 V zwak branden; op 9 V laat het genoeg door om het lampje te laten doorbranden.

![Een koperen stroomkring met één lampje en een gat dat wordt overbrugd door een gekozen materiaal; het lampje gloeit naar de watts die het krijgt](<https://professoroops.com/_assets/entity_RNOx1lSNuEhF5DXSHhqz.png>)

- koper
- staaldraad
- staalwol
- zout water
- ketchup
- potlood
- waskrijt
- doorgebrand: druk op Reset
- helemaal geen stroom
- te weinig om het te laten branden
- genoeg om het te laten doorbranden
- het lampje brandt
- 1,5 V
- 9 V

Strook vanKoperStaaldraadStaalwolZout waterKetchupPotloodWaskrijtBatterij1,5 V9 V

Gat20 cellen

strook—

lengte van de strook—

stroom—

lampje—

lampje, onder een milliwatt—

gloed—

## Lampjes achter elkaar worden zwak en naast elkaar blijven ze fel, en niemand schreef die regel

Zet één lampje op de 1,5 V-batterij en het gloeit op ongeveer de helft van zijn nominale vermogen. Zet er twee achter elkaar en elk gloeit op ongeveer een kwart daarvan. Zet er twee naast elkaar en elk blijft bijna zo fel als het enkele, terwijl de batterij bijna twee keer zoveel stroom levert. Echte lampjes op een echte batterij doen hetzelfde, in soort. Nergens in de code staat een regel voor “achter elkaar” of “naast elkaar”. Het rooster van plekjes rekent het uit.

De wet van Ohm zegt wat je kunt verwachten. Als het pad van één lampje 5,3 Ω is, zouden twee achter elkaar 10,6 Ω moeten zijn, en twee naast elkaar 2,65 Ω. Het rooster van het spel geeft 10,6 Ω en 2,65 Ω, en de stromen volgen: 0,139 A en 0,526 A tegenover 0,273 A voor één.

We zijn voorzichtig met wat dit bewijst. De eigen stap van de batterij is de schoolformule, in de code geschreven: stroom is spanning gedeeld door de weerstand van de pagina plus die van de batterij zelf. Dus dat uit beide batterijen dezelfde 5,3 Ω komt, is ingebouwd, geen ontdekking. Wat het rooster echt uitrekent, is de weerstand van de pagina, en dat is wat we controleren: tegen een exacte oplossing van hetzelfde rooster, tegen de wet van Ohm voor serie en parallel, en tegen een echte koperdraad.

[Onder de motorkap](<#hood-ohm>)

Lampjes achter elkaar worden zwak en naast elkaar blijven ze fel, en niemand schreef die regel

Onder de motorkap

### Lampjes achter elkaar worden zwak en naast elkaar blijven ze fel, en niemand schreef die regel

De oplossing draait op 1 V en wordt daarna geschaald. De geleiding van de pagina wordt afgelezen uit de warmte die de spanningen maken, opgeteld over elke verbinding tussen cellen, en dan gaat de batterij er met de wet van Ohm in serie bij:

*G* = Σ *g*·Δ*V*² , *R* = 1/*G*

*I* = *V*<sub>bat</sub> / \(*R* \+ *r*\) , *V*<sub>t</sub> = *I*·*R*

Batterijen: 1,5 V met r = 0,2 Ω; 9 V met r = 2 Ω, ongeveer wat echte hebben. Constant: geen lading, geen inzakken.

Getallen gemeten op de uitgebrachte engine en nagedaan door een onafhankelijke namaak: één lampje 0,273 A bij 1,5 V en 1,233 A bij 9 V, beide 5,3 Ω; exacte oplossing van hetzelfde rooster 5,31 Ω, 0,272 A. Achter elkaar 0,139 A; naast elkaar 0,526 A tegenover een exacte 0,525. De automatische tests controleren dat lampjes branden, zwakker worden en doorbranden zoals het hoort, met marges, niet deze precieze getallen.

0.273 A

Eén lampje: gloed 0,47

0.139 A

Twee achter elkaar: gloed 0,12 elk

0.526 A

Naast elkaar: gloed 0,435 elk

7.11 A

Draad om het lampje: lampje donker, echte kortsluiting

![Twee lampjes achter elkaar op één koperdraad tussen de klemmen van de 1,5 V-batterij, elk met maar een flauwe gele gloed en geen stralenkrans.](<https://professoroops.com/_assets/entity_VlwKNG9N3BcY5gyr4YbG.webp>)

**In het spel:** twee lampjes achter elkaar op de 1,5 V-batterij. Elk krijgt ongeveer een kwart van wat een enkel lampje krijgt: geen stralenkrans, alleen een flauwe gloed. Nergens in de code staat “serie”.

Serie en parallel, op de 1,5 V-batterij

Eén lampje: 0,273 A en een gloed van 0,47. Twee achter elkaar: 0,139 A en 0,12 elk. Naast elkaar: 0,526 A en 0,435 elk.

- stroom uit de batterij \(A\)
- gloed van elk lampje \(1 = zijn nominale 0,75 W\)

Gegevenstabel

Serie en parallel, op de 1,5 V-batterij

|  | stroom uit de batterij \(A\) | gloed van elk lampje \(1 = zijn nominale 0,75 W\) |
| --- | --- | --- |
| één lampje | 0,273 | 0,47 |
| twee achter elkaar | 0,139 | 0,12 |
| naast elkaar | 0,526 | 0,435 |

Bron: Gemeten op de uitgebrachte engine, en tot op 0,01 A nagedaan door een onafhankelijke namaak met dezelfde constanten. De wet van Ohm voorspelt vanuit de 5,3 Ω van één lampje 0,139 A en 0,526 A.

Bij kortsluiting wint een kleine batterij het van een groteLangs de onderkant de weerstand als macht van tien: −3 is 0,001 Ω, 0 is 1 Ω, 2 is 100 Ω.

Bij 0,001 Ω geeft de 1,5 V-batterij 7,46 A en het 9 V-blokje 4,5 A; bij 100 Ω geven ze 0,015 A en 0,088 A.

- 1,5 V-batterij, 0,2 Ω inwendig
- 9 V-blokje, 2 Ω inwendig

Gegevenstabel

Bij kortsluiting wint een kleine batterij het van een grote

| weerstand van de tekening, macht van tien \(Ω\) | 1,5 V-batterij, 0,2 Ω inwendig | 9 V-blokje, 2 Ω inwendig |
| --- | --- | --- |
| −3 | 7,4627 | 4,4978 |
| −2,95 | 7,4582 | 4,4975 |
| −2,9 | 7,4531 | 4,4972 |
| −2,85 | 7,4474 | 4,4968 |
| −2,8 | 7,441 | 4,4964 |
| −2,75 | 7,4339 | 4,496 |
| −2,7 | 7,4259 | 4,4955 |
| −2,65 | 7,417 | 4,495 |
| −2,6 | 7,407 | 4,4944 |
| −2,55 | 7,3958 | 4,4937 |
| −2,5 | 7,3833 | 4,4929 |
| −2,45 | 7,3693 | 4,492 |
| −2,4 | 7,3536 | 4,4911 |
| −2,35 | 7,3362 | 4,49 |
| −2,3 | 7,3166 | 4,4888 |
| −2,25 | 7,2949 | 4,4874 |
| −2,2 | 7,2706 | 4,4858 |
| −2,15 | 7,2436 | 4,4841 |
| −2,1 | 7,2135 | 4,4822 |
| −2,05 | 7,18 | 4,48 |
| −2 | 7,1429 | 4,4776 |
| −1,95 | 7,1016 | 4,4749 |
| −1,9 | 7,0559 | 4,4719 |
| −1,85 | 7,0052 | 4,4684 |
| −1,8 | 6,9493 | 4,4646 |
| −1,75 | 6,8876 | 4,4603 |
| −1,7 | 6,8197 | 4,4556 |
| −1,65 | 6,745 | 4,4502 |
| −1,6 | 6,6631 | 4,4442 |
| −1,55 | 6,5736 | 4,4375 |
| −1,5 | 6,476 | 4,43 |
| −1,45 | 6,3699 | 4,4216 |
| −1,4 | 6,2549 | 4,4122 |
| −1,35 | 6,1307 | 4,4017 |
| −1,3 | 5,9972 | 4,39 |
| −1,25 | 5,854 | 4,3769 |
| −1,2 | 5,7013 | 4,3624 |
| −1,15 | 5,5393 | 4,3462 |
| −1,1 | 5,368 | 4,3281 |
| −1,05 | 5,1881 | 4,308 |
| −1 | 5 | 4,2857 |
| −0,95 | 4,8046 | 4,261 |
| −0,9 | 4,6027 | 4,2335 |
| −0,85 | 4,3956 | 4,2031 |
| −0,8 | 4,1842 | 4,1696 |
| −0,75 | 3,9701 | 4,1326 |
| −0,7 | 3,7544 | 4,0918 |
| −0,65 | 3,5388 | 4,047 |
| −0,6 | 3,3246 | 3,9979 |
| −0,55 | 3,1131 | 3,9442 |
| −0,5 | 2,9057 | 3,8856 |
| −0,45 | 2,7036 | 3,822 |
| −0,4 | 2,5079 | 3,753 |
| −0,35 | 2,3195 | 3,6784 |
| −0,3 | 2,1392 | 3,5983 |
| −0,25 | 1,9676 | 3,5124 |
| −0,2 | 1,8051 | 3,4208 |
| −0,15 | 1,6521 | 3,3236 |
| −0,1 | 1,5086 | 3,2208 |
| −0,05 | 1,3746 | 3,1128 |
| 0 | 1,25 | 3 |
| 0,05 | 1,1346 | 2,8828 |
| 0,1 | 1,0282 | 2,7616 |
| 0,15 | 0,9302 | 2,6373 |
| 0,2 | 0,8404 | 2,5105 |
| 0,25 | 0,7582 | 2,382 |
| 0,3 | 0,6833 | 2,2527 |
| 0,35 | 0,6151 | 2,1233 |
| 0,4 | 0,5531 | 1,9947 |
| 0,45 | 0,497 | 1,8678 |
| 0,5 | 0,4461 | 1,7434 |
| 0,55 | 0,4002 | 1,6222 |
| 0,6 | 0,3588 | 1,5047 |
| 0,65 | 0,3214 | 1,3917 |
| 0,7 | 0,2878 | 1,2835 |
| 0,75 | 0,2576 | 1,1806 |
| 0,8 | 0,2304 | 1,0831 |
| 0,85 | 0,2061 | 0,9912 |
| 0,9 | 0,1842 | 0,9051 |
| 0,95 | 0,1646 | 0,8247 |
| 1 | 0,1471 | 0,75 |
| 1,05 | 0,1313 | 0,6808 |
| 1,1 | 0,1173 | 0,6169 |
| 1,15 | 0,1047 | 0,5581 |
| 1,2 | 0,0935 | 0,5042 |
| 1,25 | 0,0834 | 0,4549 |
| 1,3 | 0,0744 | 0,41 |
| 1,35 | 0,0664 | 0,369 |
| 1,4 | 0,0592 | 0,3319 |
| 1,45 | 0,0528 | 0,2982 |
| 1,5 | 0,0471 | 0,2677 |
| 1,55 | 0,042 | 0,2401 |
| 1,6 | 0,0375 | 0,2153 |
| 1,65 | 0,0334 | 0,1929 |
| 1,7 | 0,0298 | 0,1727 |
| 1,75 | 0,0266 | 0,1545 |
| 1,8 | 0,0237 | 0,1383 |
| 1,85 | 0,0211 | 0,1236 |
| 1,9 | 0,0188 | 0,1105 |
| 1,95 | 0,0168 | 0,0988 |
| 2 | 0,015 | 0,0882 |

Bron: De wet van Ohm, `I = V/(R + r)`, met de twee batterijen van het spel. De krommen kruisen bij 0,16 Ω. Daaronder levert de 1,5 V-batterij meer stroom; bij volledige kortsluiting 7,5 A tegenover 4,5 A.

## De stroom verwarmt hetzelfde papier als een lucifer

Overal waar stroom loopt, verwarmt hij de plekjes waar hij doorheen gaat, in joules, in dezelfde temperatuur waar de lucifers, het strijkijzer en de zon door een vergrootglas naar schrijven. Dus alles wat warmte doet, volgt. Staalwol op de 9 V-batterij gaat binnen twee seconden voorbij 500 °C en vat vlam waar de klemmen bijten; in de test vat het papier eronder ook vlam. De warmte van een hete draad stijgt op in de lucht erboven. Een vlieg op een gloeiende draad is er meteen af, ongedeerd, door hetzelfde “te heet om op te zitten” dat ze voor alles gebruikt wat heet is. Automatische tests controleren elk hiervan.

Waarom brandt staalwol op 9 V en niet op 1,5 V? Een plukje van 36 mm lang is ongeveer 9,5 Ω. Op 9 V laat dat ongeveer 0,78 A door, bijna 6 W in een kluwen dunne draadjes die heel weinig warmte vasthouden, zodat ze honderden graden per seconde warmer worden voordat er veel warmte weg kan. Op 1,5 V is het ongeveer 0,23 W, en de algemene afkoeling van het spel houdt het bij, dus de wol wordt alleen warm.

Een koperen lijn recht over de 1,5 V-batterij geleidt 7 A, maar blijft onder 60 °C, wat een test controleert. De eigen 0,2 Ω van de batterij begrenst de stroom, en een kleine batterij kan meer leveren dan de grote: bij volledige kortsluiting geeft de 1,5 V-batterij 7,5 A en het 9 V-blokje maar 4,5 A, omdat de binnenkant van het blokje tien keer zoveel weerstand heeft.

Lampjes hebben een eigen grens. Het lampje in het spel heeft een vermogen van 0,75 W. Laat het daar langer dan een moment ver overheen gaan en het brandt door met een vonk en een plop. Eén lampje op 9 V krijgt ongeveer 7 W, dus dat gaat; een test controleert het. Slijtage telt op: een lampje dat een moment te hard werd gestookt, is dichter bij zijn einde.

Metaal dat heter wordt dan zijn smeltpunt, smelt daar door, met een vonk, en opent de kring zoals een zekering. De code doet dit; er is nog geen test voor.

[Onder de motorkap](<#hood-heat>)

De stroom verwarmt hetzelfde papier als een lucifer

Onder de motorkap

### De stroom verwarmt hetzelfde papier als een lucifer

De watts van elke cel komen uit dezelfde spanningen waaruit de stroom wordt afgelezen, de helft van de warmte op elk van haar verbindingen \(joulewarmte, P = I²R, cel voor cel\):

*P* = ½ · Σ<sub>verbindingen</sub> *g*·Δ*V*² · *V*<sub>t</sub>²

Δ*T* = *P*·Δ*t* / *C*

C is de warmtecapaciteit van de cel in J/K: het papier, plus metaal, water en smurrie naar hoeveel er van elk ligt. Een kale cel houdt ongeveer vast wat 0,6 × 0,6 mm gewoon papier van 80 g/m² vasthoudt. De warmte gaat in dezelfde temperatuur die het vuur gebruikt, via de vuurstap en zijn bitexacte WebAssembly-tweeling. Opgeteld over de kring zijn de watts precies gelijk aan I·Vₜ zodra de spanningen tot rust zijn gekomen, omdat het aflezen en het verwarmen dezelfde som gebruiken.

Warmte gaat er natuurkundig *in*. Ze gaat er *uit* volgens de algemene regels van het vuur \(verspreiden langs metaal, een vast verlies\), en die zijn niet in echte eenheden. Dus opwarmsnelheden zijn natuurkundig en eindtemperaturen niet.

Lampjes: de gloed schuift naar de watts van het lampje gedeeld door zijn vermogen. Ver boven het vermogen telt de tijd van overbelasting op, en na een korte grens gaat het lampje voorgoed open. Smelten: koper 1085 °C, staal 1450 °C, hun echte smeltpunten.

Eén eerlijk gat: een cel koper houdt de warmte vast van een echt stuk draad van 0,6 mm lang en 0,5 mm dik, maar een getekende draad is ongeveer twee cellen breed. Dus een getekende koperdraad houdt ongeveer twee keer de warmte van een echte draad vast en warmt ongeveer half zo snel op.

Wat er gebeurt als een draad heter wordt

| Temperatuur | Wat er gebeurt |
| --- | --- |
| 150 °C | Een rustig woordje over veiligheid bij hete dunne draad of staalwol |
| 170 °C | Hete plekken beginnen op het scherm te gloeien |
| 230 °C | Papier vat vlam |
| 250 °C | Je hoort de draad sissen |
| 450 °C | Staalwol brandt, door welke warmte ook |
| 1.085 °C | Koper smelt door: de kring gaat open |
| 1.450 °C | Staal smelt door |
| 1.600 °C | De stroom kan niets verder verhitten |

De eigen drempels van het spel, uit de stroomkring, het vuur en het tekenen.

![Een strook staalwol tussen de klemmen van de 9 V-batterij, witheet gloeiend en vlam vattend waar elke klem erin bijt.](<https://professoroops.com/_assets/entity_xNLU8itinlOm4u52HOdE.webp>)

**In het spel:** staalwol tussen de klemmen van de 9 V-batterij, een seconde nadat de tweede klem erop gaat. Waar de klemmen bijten, perst de stroom zich door een paar draadjes, dus daar gloeit het eerst en vat het vlam. Volgens de code zou een lucifer dezelfde staalwol moeten aansteken, omdat het boven 450 °C brandt, wat het ook verhitte.

## Zout water wordt zuur of basisch overal waar de stroom erin of eruit gaat

Giet zout water op het vel en klem de batterij erin. Het spel zet een paar kleine belletjes bij de klemmen, moeilijk te onderscheiden van het zout. Het water bij de plusklem wordt zuur, en het water bij de minklem wordt een beetje basisch. Op papier dat in rodekoolsap is gedoopt, kun je het zien: het water bij de plusklem wordt roze. Een test controleert het.

Niets markeert het eind van een draad als bijzonder. Naast de klemmen zelf zoekt het spel naar plekjes waar water dat stroom geleidt door zijn opgeloste zout, iets raakt dat stroom geleidt zoals metaal dat doet: een koperdraad, een potloodlijn, een lampje. Waar de stroom van het metaal het water in gaat, wordt het water zuur. Waar hij uit het water het metaal in gaat, wordt het basisch, met twee keer zoveel belletjes. Dus het eind van elke draad die in de plas wordt gedoopt, zou net zo moeten werken. Dat volgt uit de code, en de demo hierboven laat het zien; de test van het spel dekt alleen de klemmen.

Het zuur dat bij de plusklem wordt gemaakt, is hetzelfde zuur als dat van azijn, dus de rodekoolkleurstof laat het zien zonder te weten dat het van een batterij kwam. In de volgende update volgende update maakt de minklem een zeepachtige base, zoals een stuk zeep, die niet met het zuur bruist. In het uitgebrachte spel maakt hij opgelost zuiveringszout.

[Onder de motorkap](<#hood-electrolysis>)

Zout water wordt zuur of basisch overal waar de stroom erin of eruit gaat

Onder de motorkap

### Zout water wordt zuur of basisch overal waar de stroom erin of eruit gaat

Als de stroomkring de pagina bekijkt, markeert hij de elektroden: cellen die stroom vooral via opgeloste ionen geleiden en onder een klem liggen of naast iets dat stroom geleidt zoals metaal dat doet \(metaal, grafiet, een lampje\). Elke tik telt hij de stroom op die tussen de metaalkant en elke zulke cel oversteekt.

stroom het water in → zuur , stroom het water uit → base

De gemaakte hoeveelheid is evenredig met de lading die erdoorheen ging, de vorm van de wet van Faraday, met het tempo opgeschroefd zodat het in seconden zichtbaar is. Belletjes komen ook toevallig in verhouding tot de lading, twee keer zoveel aan de minkant; een belletje is een tikje bruis, een schuimbelletje en een sisje. Er raakt niets op.

Het zuur en de base die het maakt, tellen ook als ionen, dus elektrolyse voedt haar eigen geleiding een beetje. De richting klopt met een practicum op school: in pekel met een indicator wordt de pluselektrode zuur en de minelektrode basisch [\(Royal Society of Chemistry\)](<https://edu.rsc.org/experiments/carbon-monoxide/735.article>). Met de echte zeef en echt gieten op 9 V maten we ongeveer 7 mA, plus bij pH 3,8, min bij pH 7,2 tot 7,4.

Een staafje koper dat los in het water ligt, aan geen van beide klemmen vast, zou volgens deze regel als twee elektroden tegelijk moeten werken, zoals echte metalen strips doen. Dat volgt uit de code; er draait nog geen test op.

We houden de kleuren eerlijk. Met de echte gereedschappen wordt de pluskant duidelijk roze. De minkant krijgt alleen een flauw, blauwer paars, geen groen, omdat het spel met de echte gereedschappen daarvoor te weinig base maakt. En we noemen het gas niet: echt zout water maakt chloor aan de pluskant, en een test zorgt ervoor dat de elektriciteitscode van het spel en zijn lijst van functies nooit zuurstof of chloor noemen volgende update.

![Papier dat paars is gekleurd met rodekoolsap, zout water tussen de twee klemmen van de 9 V-batterij, een roze plek rond de plusklem en niets rond de minklem.](<https://professoroops.com/_assets/entity_DxYjlntnC6rwXEuk92aR.webp>)

**In het spel:** zout water op rodekoolpapier met de 9 V-batterij. Roze verzamelt zich bij de plusklem. De stroomkring schrijft zuur; de rodekoolkaart leest het; geen van beide weet van de ander.

## De stroomkring past in het budget van een goedkope tablet, en we laten het ene geval zien waarin hij het fout heeft

De spanning op elk plekje uitrekenen is echt rekenwerk, en dat moet op een goedkope tablet delen met het water, het vuur en de lucht. Dus de stroomkring slaapt helemaal tot beide klemmen op het papier zitten, en hij werkt alleen op de plekjes die geleiden, niet op de hele pagina. Een koperdraad met één lampje is een paar honderd plekjes.

Zijn werk wordt elke tik geteld en begrensd. Een test zet een hele pagina onder zout water en controleert dat de stroomkring op de traagste instelling dicht bij zijn deel van het werk blijft, en dat de stroom er binnen 15 seconden speltijd nog steeds is. De test telt werkeenheden, geen milliseconden, dus hij laat zien dat de stroomkring zich aan zijn deel houdt, niet hoe lang een tik duurt.

Hij heeft ook één echte zwakke plek, en die laten we zien. Teken een potloodlijn die een kring sluit door een lampje, en teken dan koper over de potloodlijn. Het spel houdt zijn oude antwoord als beginpunt, omdat er geen nieuwe plekjes bij kwamen. Dat antwoord leest nu als een volledige kortsluiting: 7,4 A en een donker lampje. De rondes kruipen daarna naar de waarheid, en in het uitgebrachte spel komen ze na ongeveer 16 seconden tot rust op 0,555 A, waar het juiste antwoord 0,272 A is. De eenvoudige stroomkringen waar een kind mee begint, komen binnen ongeveer een half procent uit.

Vijf pogingen tot een exacte oplosser waren elk ergens slechter, dus het werk ligt stil. Een stelling geeft wat troost: zoals het spel de stroom afleest, kan elke fout hem alleen te hoog maken, nooit te laag.

[Onder de motorkap](<#hood-solver>)

De stroomkring past in het budget van een goedkope tablet, en we laten het ene geval zien waarin hij het fout heeft

Onder de motorkap

### De stroomkring past in het budget van een goedkope tablet, en we laten het ene geval zien waarin hij het fout heeft

De aflezing is `Σ g ΔV²`. Volgens het principe van Thomson \(van Dirichlet\) maken de ware spanningen de minste warmte, dus een fout in de spanning telt pas in de tweede orde mee, en altijd naar boven. Daarom leest de gok met het kortste pad alleen al een kortsluiting tot op 0,04% juist.

Een nieuwe of sterk veranderde stroomkring begint met een eerste gok, opgebouwd uit de kortste paden naar weerstand tot elke klem \(het algoritme van Dijkstra\), die langs een gewoon pad in serie al exact is. Daarna volgen rondes heen en terug, met af en toe een aflezing, tot de aflezing niet meer beweegt.

De fout heeft twee delen. De warme start: koper over potlood voegt geen cellen toe, dus komt er geen nieuwe gok. En het vastlopen: koper geleidt duizenden keren beter dan het lampje, een ronde kan een stuk koper nauwelijks bewegen tegen de zwakke trek van het lampje in, de aflezing verandert nauwelijks, en de rusttest slaagt bij een fout antwoord. Andere bekende gevallen: 20 rijen draad over een volle pagina lezen 2,8 A waar 0,297 A juist is; twee lampjes naast elkaar in serie met een derde, zonder enige voorgeschiedenis, 0,207 tegenover 0,184.

Elke fase kan halverwege pauzeren en bij de volgende tik verdergaan, alles op één gedeeld budget, en het oude antwoord blijft draaien terwijl de volgende blik op de pagina wordt opgebouwd. Alleen wat er getekend wordt, gaat van de worker van de simulatie naar de hoofdthread.

1. Kijkenwat geleidt, vanaf \+
2. Eerste gokalleen nieuwe kringen
3. Rondeshet meeste werk
4. Aflezenuit de gemaakte warmte
5. Gevolgenwarmte, lampjes, water

Wat de stroomkring elke tik doet, binnen één geteld budget.

Deel van het werk dat de stroomkring elke tik mag besteden, per detailniveau0 = het meeste detail; een trager apparaat stapt omlaag.

Detail 0 mag 100% besteden, detail 1 80%, detail 2 60%, detail 3 40% en detail 4 24%.

Gegevenstabel

Deel van het werk dat de stroomkring elke tik mag besteden, per detailniveau

|  | deel van het werk |
| --- | --- |
| detail 0 | 100% |
| detail 1 | 80% |
| detail 2 | 60% |
| detail 3 | 40% |
| detail 4 | 24% |

Bron: Werkbudget per tik per detailniveau, ten opzichte van het hoogste niveau. Er bestaat geen tijdmeting in milliseconden van de stroomkring, dus we geven er geen.

Probeer het: kijk hoe de oplosser werkt De eigen regel van het spelBoven: een strook van de pagina, gekleurd naar spanning. Onder: wat de oplosser afleest, ronde na ronde, tegenover een exacte oplossing van hetzelfde rooster \(gestreept\). Hij draait het budget van het spel op het hoogste detailniveau, met 60 tikken per seconde. In het foutgeval begint het lampje donker en wordt het pas feller als de rondes binnenkruipen: de valse stroom loopt door het koper, niet door het lampje. **Probeer:** het foutgeval met de warme start, zoals het spel het doet, en dan hetzelfde met een nieuwe gok. Zet daarna de overrelaxatie terug naar 1 \(gewone Gauss-Seidel\) en kijk hoeveel trager het wordt.

![Een strook pagina gekleurd naar spanning, en een grafiek van wat de oplosser afleest tegen het aantal rondes, vergeleken met een exacte oplossing](<https://professoroops.com/_assets/entity_cpq7q90VT8TAhLFju2ei.png>)

- \+
- −
- 0,1 A
- 0,3 A
- 1 A
- 3 A
- 10 A
- 0
- 400
- 1,000
- 2,000
- 5,000
- 10,000
- 15,000
- 20,000
- 30,000
- 50,000
- rondes
- exacte oplossing
- wat de oplosser afleest

GevalKoper over een potloodlijnNieuw koper en lampjeBegin bijLaatste antwoord \(zoals het spel\)Een nieuwe gok

Overrelaxatie ω1,75

rondes—

leest—

exact—

zit ernaast met—

oplosser—

De bekende fout: koper getekend over een potloodlijn

De rondes beginnen bij 7,49 A, lezen na 2.048 rondes nog 6,55 A en na 8.192 rondes 1,74 A, en stoppen na 14.080 rondes bij 0,353 A, tegenover een ware 0,272 A.

- wat de rondes aflezen
- het ware antwoord, 0,272 A

Gegevenstabel

De bekende fout: koper getekend over een potloodlijn

| rondes | wat de rondes aflezen | het ware antwoord, 0,272 A |
| --- | --- | --- |
| 0 | 7,492 | 0,272 |
| 16 | 7,209 | — |
| 128 | 7,148 | — |
| 1024 | 6,915 | — |
| 2048 | 6,548 | — |
| 4096 | 5,262 | — |
| 6144 | 3,381 | — |
| 8192 | 1,743 | — |
| 10 240 | 0,847 | — |
| 12 288 | 0,478 | — |
| 14 080 | 0,353 | — |
| 14 500 | — | 0,272 |

Bron: Een namaak van de methode van het spel op een pagina van 240 × 120, met dezelfde constanten: hij begint bij de oude spanningen, die lezen als een volledige kortsluiting, en de rusttest slaagt bij ongeveer 0,35 A na zo’n 14.100 rondes. In het uitgebrachte spel komt hetzelfde geval na ongeveer 16 s tot rust op 0,555 A. Het goede geval ernaast: koper en een lampje, 64 rondes vanaf de gok, 0,273 A tegenover 0,272 A.

## Elektriciteit praat via het papier met al het andere

De stroomkring schrijft warmte in dezelfde temperatuur als het vuur, en zuur in hetzelfde opgeloste zuur als dat van azijn. Hij leest metaal, potloodstift, water en zout die andere gereedschappen neerleggen. Geen van die verbanden is als speciaal geval geschreven.

Gedeeld: stroom → temp

### Teken staalwol tussen de klemmen van de 9 V-batterij

Het gaat binnen twee seconden voorbij 500 °C en vliegt in brand waar de klemmen bijten.

[Warmte en vuur](<https://professoroops.com/binnenin/warmte/>) · een test controleert het

Gedeeld: zuur

### Klem de batterij in zout water op rodekoolpapier

Roze bij de plusklem. De stroomkring schrijft zuur, de rodekoolkaart leest het.

[Scheikunde en pH](<https://professoroops.com/binnenin/scheikunde/>) · een test controleert het

Gedeeld: zout in smurrie → ionen

### Overbrug een gat in een draad met gezouten deeg, op de 9 V-batterij

Zoutdeeg laat het lampje zwak branden en wordt warm; brooddeeg geleidt meer dan 10 mA, ongezouten deeg minder dan een tiende daarvan.

[Deeg, schimmel en tijd](<https://professoroops.com/binnenin/levend/>) · een test controleert het

Gedeeld: temp

### Laat een vlieg op een gloeiende draad landen

Ze is er meteen af, ongedeerd, zoals van alles wat te heet is om op te zitten.

[Dieren met een eigen wil](<https://professoroops.com/binnenin/dieren/>) · een test controleert het

Gedeeld: temp → lucht

### Laat een hete draad op het vel liggen

Zijn warmte stijgt op in de lucht erboven, zoals bij elk warm plekje.

[Lucht die echt beweegt](<https://professoroops.com/binnenin/lucht/>) · een test controleert het

Gedeeld: lichamen

### Duw de batterij of een lampje met je hand

Ze schuiven mee zoals elk ander voorwerp op tafel.

[Dingen die dingen duwen](<https://professoroops.com/binnenin/duwen/>) · een test controleert het

## Koper geleidt stroom vijftig miljoen keer beter dan potlood, en één regel kan ze allebei aan

5×10⁷

Hoeveel beter koper geleidt dan de zwaarste potloodlijn. Beide gaan door één regel op één pagina.

0.083 Ω/m

Een getekende koperen lijn, per meter. Een echte koperdraad van 0,5 mm is 0,086 Ω/m \(rekenwerk uit de soortelijke weerstand van koper\).

0.5 %

Hoe dicht eenvoudige stroomkringen bij een exacte oplossing van hetzelfde rooster komen: één lampje 0,273 A tegenover 0,272 A.

196,608

Plekjes op een pagina op volle grootte \(512 × 384\), elk een mogelijke weerstand.

0

Werk dat de stroomkring doet zolang de klemmen van de batterij niet allebei op het papier zitten, vastgelegd in een test.

## Waar we vereenvoudigen, en waarom

Echte elektriciteit is een 3D-veldprobleem met batterijen die leeg raken en lampjes waarvan de weerstand oploopt als ze heet worden. We houden de delen die een kind kan zien en controleren, in echte eenheden, en laten de rest met opzet weg.

**In het echt.** Stroom loopt door 3D-draden en plassen, volgens de vergelijkingen van Maxwell

**In het spel.** Eén plat vel, siemens per vierkant, constante stroom \(gelijkstroom\): ∇·\(σ∇V\) = 0. Contact alleen schuin geleidt niet

**Waarom dat genoeg is.** Papier is dun en speelgoedbatterijen geven gelijkstroom. Wat we kwijtraken: dikte \(diep en ondiep water geleiden even goed\), en elke capaciteit of elk schakelverschijnsel

**In het echt.** De weerstand van de gloeidraad van een lampje stijgt van koud naar heet ongeveer 14 keer \(de soortelijke weerstand van wolfraam gaat als T¹·², bij werking rond 2700 K, [practicumhandleiding van Rose-Hulman](<https://www.rose-hulman.edu/Class/phao/PH/JOW/Ph113%20Labs/Physics_lab_manual/chapter_6/radiative/radiative.html>)\)

**In het spel.** Een vaste weerstand van ongeveer 4,7 Ω, en een helderheid die lineair is in watts

**Waarom dat genoeg is.** Serie en parallel komen goed uit. Wat we kwijtraken: de stroomstoot bij het aanzetten en de echte dimkromme; een zwak lampje ziet er feller uit dan een echt zou zijn

**In het echt.** De spanning van een batterij zakt in, hij wordt warm en raakt leeg

**In het spel.** Constante volts en inwendige weerstand \(1,5 V, 0,2 Ω; 9 V, 2 Ω\). Een batterij die hard werkt, wordt alleen een beetje rood

**Waarom dat genoeg is.** Geen verborgen toestand om over te puzzelen. De inwendige weerstand blijft, want die begrenst een kortsluiting

**In het echt.** Kraanwater geleidt een beetje

**In het spel.** Gewoon water geleidt precies niets; alleen wat erin is opgelost, geleidt stroom

**Waarom dat genoeg is.** Een heldere les: zout maakt het verschil. We zeggen erbij dat het onze vereenvoudiging is

**In het echt.** Elk moment een exacte oplossing

**In het spel.** Rondes binnen een werkbudget, gestopt zodra de aflezing niet meer beweegt

**Waarom dat genoeg is.** Eenvoudige stroomkringen komen binnen 0,5% uit. Wat we kwijtraken: sommige pagina’s met veel contrast komen te hoog tot rust, zoals hierboven te zien

**In het echt.** Zout water maakt chloor bij \+ en waterstof bij −; de pluskant bleekt de indicator

**In het spel.** Zuur bij \+, base bij −, belletjes zonder naam, geen gas in de lucht, er raakt niets op

**Waarom dat genoeg is.** Met opzet: het spel heeft één giftig gas, in de bleekles. Hoeveelheden volgen de lading, zo afgesteld dat ze in seconden zichtbaar zijn

**In het echt.** Een lampje verlicht de kamer

**In het spel.** Een stralenkrans op het papier geschilderd, die groeit met de watts van het lampje. Hij werpt geen licht dat andere dingen kunnen zien en verwarmt het papier niet

**Waarom dat genoeg is.** In één oogopslag lees je “aan”. Planten, schaduwen en dieren reageren er niet op

**In het echt.** Warmte verlaat een draad door geleiding, convectie en straling

**In het spel.** Warmte gaat erin in joules; ze gaat eruit via de algemene afkoeling van het vuur, die niet in echte eenheden is

**Waarom dat genoeg is.** Opwarmsnelheden zijn natuurkundig, dus wol brandt en koper niet. Eindtemperaturen zijn geen echte aflezing